在面对保险公司拒绝承担责任、不予以赔付的情况时，涉事客户是否有权要求保险公司支付利息？这一问题的答案往往依赖于相关情境，并由法官作出最终的裁决。
通常来说，只有在保险公司确实负有赔付责任，或者投保方并未严重违反保险合同约定的情况下，才能通过法律途径向保险公司主张支付利息的赔偿。
如果保险公司拒绝履行全部或部分的赔付义务，或者存在延迟赔付的现象，那么受到影响的客户群体便可考虑聘请律师，启动诉讼程序，并在诉讼过程中提出包含利息在内的赔偿诉求。
然而，值得注意的是，利息的实际获得仍然要以法官最终的裁定为准。
另一方面，倘若保险公司所作的拒赔决定具备合理性的基础，即在保险事故中，被保险人所面临的风险程度未能达到保险条款中所设定的理赔标准，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已缴的保费都无法全数退还。

《中华人民共和国保险法》第十三条投保人提出保险要求，经保险人同意承保，保险合同成立。保险人应当及时向投保人签发保险单或者其他保险凭证。保险单或者其他保险凭证应当载明当事人双方约定的合同内容。当事人也可以约定采用其他书面形式载明合同内容。依法成立的保险合同，自成立时生效。投保人和保险人可以对合同的效力约定附条件或者附期限。第十四条保险合同成立后，投保人按照约定交付保险费，保险人按照约定的时间开始承担保险责任。