当保险公司持续故意拖延支付款项时，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
首先，您可以亲自前往保险公司与相关人员进行详细的协商和沟通，向他们明确阐述您的诉求，要求依据保险合同条款履行赔偿责任，并且明确指出保险公司的这一行为已经构成了违法行为。
其次，您还可以选择向保险业监管机构提出投诉申请，在此过程中，务必妥善保存好所有相关的维权证据以备不时之需。

《保险法》第二十二条
保险事故发生后，按照保险合同请求保险人赔偿或者给付保险金时，投保人、被保险人或者受益人应当向保险人提供其所能提供的与确认保险事故的性质、原因、损失程度等有关的证明和资料。
保险人按照合同的约定，认为有关的证明和资料不完整的，应当及时一次性通知投保人、被保险人或者受益人补充提供。