在人身保险的范畴中，如果被保险人是因为第三方行为引发了死亡、伤残或疾病等保险事故，那么保险公司在向被保险人或其受益人支付相应的保险金额之后，将不再具有向实施肇事者进行追偿的权利。
然而，被保险人或受益人仍然保有向第三方提出索赔的司法权利。
依据相关法律规定，该保险机构理应对您所遭受的医疗费用损失承担赔付责任。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。