当乡镇派出所未能妥善解决问题时，可通过以下途径来处理：
一、向其上级机关投诉
若派出所未有效解决事情，可向其所属的县级公安机关进行投诉。
在投诉时，要尽可能详细地说明事情的来龙去脉，包括事件发生的时间、地点、涉及的人员等具体情况。
同时，清晰阐述派出所存在的不作为或处理不当的具体表现，如拖延处理时间、对问题敷衍了事等。
县级公安机关在接到投诉后，会依据实际情况展开全面核查，他们可能会调阅相关案件资料、询问涉事人员等，之后会根据核查结果给出相应的处理意见，并及时反馈给投诉人。
二、向公安机关的督察部门反映
督察部门承担着对公安机关及其人民警察履职、用权和守纪情况监督的重要职责。
可以向其提交详细的相关材料，如事件的书面记录、相关证据等，如实反映派出所存在的问题。
督察部门会依据相关规定和程序，对反映的问题进行深入调查和依法处理，确保公安机关及其人员依法履行职责。
三、申请行政复议或提起行政诉讼
如果觉得派出所的行为侵害了自身合法权益，且符合法定条件，可依法向相关行政复议机关申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼。
通过法律途径，借助专业的法律程序和司法力量，来维护自己的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李发生纠纷，找乡镇派出所解决，派出所拖延处理时间，问题未妥善解决。小朱先向县级公安机关投诉，县级公安机关核查后反馈结果小朱不满意；后向督察部门反映，督察部门调查处理后小朱仍觉权益未保障，考虑申请行政复议或提起行政诉讼。

案情分析:

1、小朱向县级公安机关投诉时，应详细陈述派出所拖延处理等问题，县级公安机关调阅资料、询问人员后应客观公正给出处理意见。
2、小朱向督察部门反映，提交的材料要真实有效，督察部门需严格按规定程序深入调查处理。
3、若小朱申请行政复议或诉讼，需符合法定条件，借助法律程序维护自身权益。