依据我国《中华人民共和国刑法》第一百三十三条之规定，对于构成交通肇事罪的案件，其主要刑事责任承担方式可细致区分以下三种情形：首先，若行为人在驾驶过程中违反了交通运输管理法规，导致严重事故的发生，如使得他人重伤、死亡或是给公共或私人财产带来巨大损失等情况，则应被依法判处三年以下有期徒刑或拘役；
其次，若行为人在事故发生后选择逃离现场或者存在其他特别恶劣情节，那么其刑事责任将相应加重，需接受三年以上七年以下有期徒刑的处罚；
最后，若行为人在逃逸过程中致使他人死亡，那么其所面临的刑事责任将更为严重，需要接受七年以上有期徒刑的惩罚。
因此，交通肇事罪的主要刑事责任承担方式，是由事故的严重性、行为人的过错程度以及其在事故发生后的表现和行为等多方面因素共同决定的。

《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；
交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；
因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。