依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条之规定，公安机关在执行逮捕任务时，必须严格依照法定程序，向被羁押者出示相应的逮捕证。
鉴于醉酒驾车行为已经触犯了危险驾驶罪，属于典型的刑事犯罪案件，因此，当公安机关对涉嫌醉驾的犯罪嫌疑人进行拘留时，必须严格地依照法律法规，出具拘留证，并且要按照相关法律程序，如及时通知被拘留者的亲属等，确保后续工作的合法性和公正性。
因此，醉驾刑事拘留的决定权归属于公安机关。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。