醉酒驾车并强行冲过警戒线的行为有可能触犯危险驾驶罪或者妨害公务罪。在普遍情况之下，刑事拘留的最长期限可达到37天，其中涵盖了侦查机构提出拘留申请以及检察机关批准逮捕的整个过程。
然而，具体的时间长度将取决于案件本身的复杂性和相关证据的收集状况等因素而产生差异。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。