发生交通事故司机全责的，肇事司机和其老板都需要承担赔偿责任；因为不论是雇佣关系，还是劳动关系，司机在执行工作任务时造成他人损害的，其雇主或者单位都是应当承担连带赔偿责任的。
不过雇主或者单位在赔偿之后，如果司机本人存在重大过失或者故意的，可以向其追偿。

《民法典》第一千一百九十一条
用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。
劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任；劳务派遣单位有过错的，承担相应的责任。