在司法实践中，法庭通常会根据实际情况依法判决未能按时履行赡养义务的当事人支付遗留欠付的抚养费用，并且规定其必须按照生效的判决书所规定的期限与方式持续支付此类费用。
若被判支付方具备相应的经济能力但蓄意拒不履行支付义务，那么他们将可能面临强制执行措施，如冻结其银行账户、查封其财产等。
此外，他们还有可能遭受一系列的法律制裁，包括罚款、拘留等处罚。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。