关于监护权之争本身普遍而言并不会直观地触发补偿问题的出现。
然而，在某些特殊情况下，倘若对方在承担抚育子女义务的过程中存在重大过失，例如实施儿童虐待、遗弃等行为，抑或是他们所采取的措施对孩子的身体与心理健康产生了极其严重的伤害，在此种境况下，当您致力于获取监护权之时，亦可适时提出要求对方对孩子进行相应的损害赔偿。

《中华人民共和国民法典》第一千零七十九条
夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。
人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。
有下列情形之一，调解无效的，应当准予离婚：
（一）重婚或者与他人同居；
（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；
（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；
（四）因感情不和分居满二年；
（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。
一方被宣告失踪，另一方提起离婚诉讼的，应当准予离婚。
经人民法院判决不准离婚后，双方又分居满一年，一方再次提起离婚诉讼的，应当准予离婚。