倘若一位当事人决意拒绝履行相关抚养责任，那么在法律途径的解决过程中，法院往往会直接下判令要求该当事人承担起支付抚养费用的义务。
在此过程中，法院会依据子女的实际需求、父母双方的经济承受能力以及当地的实际生活水准等多方面因素，综合考虑后确定抚养费的具体金额及支付方式。
对于那些具备支付能力却故意拖延或拒绝支付的情况，法院甚至可能采取强制执行措施，如冻结其银行账户、查封其财产等手段以确保抚养费的顺利支付。
此外，长期拖欠抚养费的行为还可能对当事人的个人信用记录造成严重的负面影响。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。