在涉及到离婚的法律纠纷之中，夫妻中的一方背负着债务并不意味着必须会失去他们对于子女抚养监护权的掌控。
实际上，子女抚养权的决定是以子女最佳利益为首要考量，综合分析并权衡众多相关因素的结果，诸如父母双方的生育养育能力，家庭抚养环境及资源，以及子女自己内心真实的意愿等等。
尽管如此，如果在这种情况下，虽然其中一方存在债务负担，但是他仍然能够为子女提供稳定且优质的生活环境，以及良好的教育资源，同时也能够给予子女足够的关爱与护，那么他还是有机会去争取到子女的抚养权的。
然而，如果债务状况已经严重影响到了他的抚养能力，比如他无法满足子女最基本的生活需求，或者因为债务问题而使得子女的生活环境变得动荡不安，那么这样的情况无疑将会对他争取子女抚养权带来负面的影响。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条
父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。