不合法。

和丈母娘吵架把孩子送福利院不合法的。
因为我国收养需满足严格的法定条件。
即被收养人必须为丧失父母的孤儿、查找不到生父母的未成年人、生父母有特殊困难无力抚养的子女等，收养人必须为年满三十周岁、具有扶养能力、无不利于子女抚养的犯罪记录的人员，而并不包括家庭成员产生争执。

《中华人民共和国民法典》第一千零九十三条
下列未成年人，可以被收养：
（一）丧失父母的孤儿；
（二）查找不到生父母的未成年人；
（三）生父母有特殊困难无力抚养的子女。
第一千零九十四条
下列个人、组织可以作送养人：
（一）孤儿的监护人；
（二）儿童福利机构；
（三）有特殊困难无力抚养子女的生父母。
第一千一百零五条
收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。
收养关系自登记之日起成立。