在法律层面，私生子女和婚生子女享有同等的地位。
倘若父亲未曾立下遗嘱来排除私生子女的继承权，那么私生子女便具备继承父亲再婚之后所留遗产的权利。
依据《民法典》的相关规定，遗产的继承顺序是有明确划分的。
第一顺序包括配偶、子女以及父母；
第二顺序则是兄弟姐妹、祖父母以及外祖父母。
这里的子女，涵盖了婚生子女、非婚生子女、养子女以及有着扶养关系的继子女。
这就意味着，只要私生子女与父亲之间存在着法律所认可的亲子关系，那么他们就有权依照法律规定去继承父亲的遗产。
然而，需要注意的是，如果父亲通过遗嘱的方式明确将遗产留给特定的人，那么在这种情况下，私生子女可能就无法继承父亲的遗产。
这是因为遗嘱具有较高的法律效力，它能够按照立遗嘱人的意愿来分配遗产。
所以，私生子女在面对继承问题时，需要明确自身与父亲的亲子关系是否得到法律的认可，以及父亲是否立下了遗嘱等相关情况，以便更好地维护自己的合法权益。