根据我国现行法律法规的明文规定，当老年人离世之后，其名下储蓄的继嗣问题将依据遗书所载情况进行相应处理；若无遗书可循，则依照法定继承人的序列依次展开继承事宜。
具体来说，遗产应当按照如下顺位进行分配和继承：
首先是配偶、随后依次为子女及父母；在第一顺位继承人都不在世或者放弃继承权的情况下，方可由第二顺位的继承人们按照同一序位进行继承，这些人包括：
兄弟姐妹、祖父母以及外祖父母。

《民法典》第一千一百二十七条
【法定继承人的范围及继承顺序】遗产按照下列顺序继承：
(一)第一顺序：
配偶、子女、父母;
(二)第二顺序：
兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承;没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。