当不幸发生交通事故并涉及被告人与保险公司之间的赔付争议时，当事人有权将保险公司作为案件的唯一被告进行起诉，同时应在起诉状中明确列举该保险公司的名称。
另外，根据法律规定，提起诉讼须满足以下四项基本条件：
（1）原告身份合法有效；
（2）被告明确无误；
（3）诉讼请求以及相关事实与理由应当详细且合理；
（4）案件应由受理法院依法审理。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十二条
起诉必须符合下列条件：
(一)原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；
(二)有明确的被告；
(三)有具体的诉讼请求和事实、理由；
(四)属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
第一百二十四条
起诉状应当记明下列事项：
(一)原告的姓名、性别、年龄、民族、职业、工作单位、住所、联系方式，法人或者其他组织的名称、住所和法定代表人或者主要负责人的姓名、职务、联系方式；
(二)被告的姓名、性别、工作单位、住所等信息，法人或者其他组织的名称、住所等信息；
(三)诉讼请求和所根据的事实与理由；
(四)证据和证据来源，证人姓名和住所。