在面临保险公司拒绝赔付的状况时，能否向该公司索求赔偿利息通常需要依据实际情况由法官作出判断。一般而言，仅在保险公司应当承担赔付责任，或者投保方未有严重违反保险合同规定的行为发生的前提下，才可考虑通过法律手段并向保险公司主张赔偿利息。若保险公司拒绝赔付、仅对部分损失进行赔偿或延迟赔付，您有权寻求律师协助提起诉讼，并在诉讼过程中提出赔偿利息的诉求。
然而，值得注意的是，最终能否成功获取利息支付仍需依赖于法官的裁决结果。
此外，若保险公司的拒赔决定具有合理性，例如被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险条款中的理赔条件，那么保险公司将无需支付利息，甚至可能无法退还已缴纳的保费。总的来说，倘若您遭遇到保险公司拒绝赔付的问题，建议咨询专业律师以了解自身权益及可行的解决策略，但最终能否成功获取利息支付还需依据法律裁决而定。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。