在交通事故这个范畴里，通常来讲并没有特别明确地规定到底该谁先去垫付医药费。
一般的情形是，受伤的那一方可以先自己掏腰包把医药费给垫付了，之后再通过双方友好地协商，或者走诉讼这种正规的法律途径，去向负有责任的那一方去索要回自己垫付的钱。
要是肇事的那一方表现得比较配合，并且自身也具备一定的经济实力的话，那他也有很大可能会主动地把医药费给垫付了。
可要是肇事方选择了逃逸，或者压根就没有能力去垫付医药费，受伤的人就可以通过这些办法来处理：
①可以向自己所购买的保险公司去申请垫付医药费（前提是得有相关的保险条款存在）。
这样能在一定程度上缓解伤者的经济压力。
②还可以向道路交通事故社会救助基金去申请救助，要是符合相关条件的话，救助基金是可以垫付一部分，甚至是全部的抢救费用的。
在实际的处理过程中，双方都应该尽可能地去协商解决垫付医药费的这个问题，毕竟这关系到伤者能否及时得到治疗。
要是协商没办法达成一致，那就只能通过法律途径来解决啦，让法律来给出一个公正的裁决。

案情回顾:

小朱驾车与小李发生交通事故，小李受伤。对于医药费垫付问题产生争议，小朱认为自己不应先垫付，小李则急需救治又无力承担全部费用。小朱没有逃逸且有一定经济实力，但就是不肯垫付。小李无奈想寻求其他途径解决。

案情分析:

1、按照惯例，小李可先自付后协商或诉讼向小朱索要。但小朱不肯垫付的情况下，小李若有相关保险条款可向自己保险公司申请垫付。
2、若符合条件，小李还可向道路交通事故社会救助基金申请救助。若协商不成，小李可通过法律诉讼，由法院判定小朱是否应承担医药费垫付责任。