在交通事故的情境中，当无责方垫付了医药费后，有以下几种途径来解决这一问题：
向有责方进行追偿。
按照相关的法律规定，在交通事故里，无责方所垫付的医药费是有权利向有责方去追偿的。
无责方可以主动与有责方展开协商，商量赔偿的相关事宜，要是协商的过程不顺利，那么还可以通过诉讼的途径来处理，并且要提供那些垫付医药费的相关凭证等当作证据，以此来维护自己的权益。
申请保险代位求偿。
当无责方的保险公司在交强险的无责赔偿限额范围内垫付了医药费之后，它就拥有了向有责方追偿的权利。
所以，无责方必须要及时通知自己的保险公司，然后积极地协助保险公司去开展代位求偿的相关工作，让保险公司能够顺利地行使其权利。
将其纳入交通事故赔偿范围。
在最终的交通事故赔偿调解或者诉讼过程中，应该把之前垫付的医药费纳入到赔偿的范围之内，让有责方一并进行赔偿。
这样就能确保无责方的利益得到充分的保障，也能使交通事故的赔偿问题得到妥善的解决。

案情回顾:

小朱和小李发生交通事故，交警判定小李有责，小朱无责。小朱出于人道主义先垫付了医药费。事后小朱要求小李偿还垫付的费用，小李拒绝。小朱希望通过合法途径拿回自己垫付的钱，双方产生争议。

案情分析:

1、小朱有权向小李追偿，若协商不成可诉讼，需提供垫付凭证等证据。
2、若小朱的保险公司在交强险无责赔偿限额内垫付，保险公司可代位求偿，小朱要积极协助。
3、小朱也可将垫付费用纳入交通事故赔偿范围，在调解或诉讼时要求小李一并赔偿。