关于如何妥善处理医疗事故责任保险合同纠纷问题，我们为您提供以下几种有效途径：
首先，建议合同当事人基于友好协商原则，共同探讨和解之道，此乃最为理想之解决方案；
其次，若协商无果，合同当事人可请求相关机构进行调解，例如，若其中一方或双方均为国有企业，则可向上一级主管部门提出调解申请。在此过程中，上级主管部门需秉持公正立场，明辨是非，而非进行行政干预。
此外，当事人亦有权选择向合同管理机关、仲裁机构乃至法庭等相关机构寻求调解帮助；
再者，若协商与调解均无法达成共识，且合同中并未约定仲裁条款，或者纠纷发生后双方未能就仲裁事宜达成一致意见，合同当事人可依法向有管辖权的法院提起诉讼，以期获得司法救济。
值得注意的是，部分合同纠纷可能具有特殊性，例如涉及涉外因素的合同纠纷，在解决此类问题时，可能需要参照适用外国法律，而非我国现行的合同法相关规定。

《医疗事故处理条例》第三十五条　卫生行政部门应当依照本条例和有关法律、行政法规、部门规章的规定，对发生医疗事故的医疗机构和医务人员作出行政处理。第三十六条　卫生行政部门接到医疗机构关于重大医疗过失行为的报告后，除责令医疗机构及时采取必要的医疗救治措施，防止损害后果扩大外，应当组织调查，判定是否属于医疗事故;对不能判定是否属于医疗事故的，应当依照本条例的有关规定交由负责医疗事故技术鉴定工作的医学会组织鉴定。第三十七条　发生医疗事故争议，当事人申请卫生行政部门处理的，应当提出书面申请。申请书应当载明申请人的基本情况、有关事实、具体请求及理由等。当事人自知道或者应当知道其身体健康受到损害之日起1年内，可以向卫生行政部门提出医疗事故争议处理申请。第三十八条　发生医疗事故争议，当事人申请卫生行政部门处理的，由医疗机构所在地的县级人民政府卫生行政部门受理。医疗机构所在地是直辖市的，由医疗机构所在地的区、县人民政府卫生行政部门受理。