关于私下签订的合作协议是否具有法律效力，需明确以下几点：
1.基本有效条件：
私下签订的合作协议通常是有效的。
前提是签订协议必须是双方真实意思的体现，不存在欺诈、胁迫等情况。
同时，协议内容不能违反法律法规的强制性规定，也不能损害国家、集体或者第三人的利益。
例如，不能约定违法的交易行为等。
2.法律角度分析：
从法律层面看，协议效力取决于形式和实质内容。
形式上，双方需签字或盖章，以此确认协议的真实性。
实质内容方面，要明确双方权利义务，如各自负责的工作内容；履行方式，比如付款的时间和方式等；违约责任，像违约方需承担的赔偿金额等重要条款。
3.特殊领域要求：
若协议涉及房地产、金融等特殊领域，可能还需满足特定登记或审批程序。
比如房产买卖协议，需办理过户登记。
总之，符合法律规定的私下合作协议有效。
签订前应仔细审查条款，必要时咨询律师。

案情回顾:

小朱与小李私下签订了一份合作协议，准备共同开展业务。小朱认为协议有效，小李却以协议未经相关部门审批为由，主张协议无效，双方因此产生争议。

案情分析:

1、若该协议是双方真实意思体现，不存在欺诈、胁迫，内容不违反法律法规强制性规定，也未损害国家、集体或第三人利益，通常是有效的。
2、从法律角度，若双方已签字或盖章，且明确了权利义务、履行方式、违约责任等实质内容，协议效力应得到认可。
3、若合作涉及特殊领域，如房地产、金融等，需满足特定登记或审批程序，否则协议效力可能受影响。