在处理代位权诉讼纠纷过程中，第三者（亦称为次债务人）须肩负的责任主要概括如下：首先，应当向债权人履行清偿义务。
倘若法院裁定代位权成立，则第三方应在其对债务人所负担之债务的额度之内，直接向债权人进行清偿。
其次，应承担相应的诉讼费用。
如代位权诉讼获得胜诉，通常情况下，第三方需依据其过失程度来分摊诉讼费用。
再者，可能需承担延迟履行的利息或违约责任。
若第三方未能依照判决规定的期限履行金钱给付义务，还应加倍支付延迟履行期间的债务利息。
然而，第三方对于债务的抗辩权，例如债务尚未到期、并不存在等，均可在诉讼程序中依法提出主张。
总而言之，第三方在代位权诉讼中所承担的责任将取决于具体案件的实际情况以及法院的最终判决结果。