当遇到私人诊所的医疗纠纷时，具体可按以下方式处理。
首先，患者务必第一时间妥善保留各类相关医疗资料，像详细的病历，其中要涵盖就诊时间、症状描述、医生诊断意见等关键信息；
检查报告，包括各种化验、影像等检查的结果，能直观反映身体状况；
还有缴费凭证，这能明确医疗费用的支出情况。
这些资料犹如坚实的盾牌，是后续进行维权行动的重要依据。
接着，患者要主动与诊所进行沟通协商，心平气和地把纠纷的具体情形，比如是诊断错误、治疗不当还是其他方面的问题，以及双方各自的诉求，清晰地表达出来，尝试以友好的方式解决问题。
倘若协商无果，就可以向卫生行政部门进行投诉，卫生部门会立刻展开调查，并且积极进行调解。
要是经过这些途径仍无法解决纠纷，患者则可以向法院提起民事诉讼，依法要求诊所承担相应的民事责任，比如赔偿因医疗纠纷给自己带来的医疗费，包括住院费用、药品费用等；
误工费，因耽误工作而损失的收入；
护理费，聘请护理人员所支出的费用等损失。
在诉讼过程中，患者必须提供充足的证据，确凿地证明诊所存在医疗过错，以及这种过错给自己造成了实实在在的损失。
总之，一定要及时且妥善地处理医疗纠纷，坚决维护自身的合法权益。