医疗事故鉴定申请回避的方式包括口头申请和书面申请。
根据《医疗事故处理条例》第二十六条的规定，专家鉴定组成员有下列情形之一的，应当回避，当事人也可以以口头或者书面的方式申请其回避：
(一)是医疗事故争议当事人或者当事人的近亲属的；
(二)与医疗事故争议有利害关系的；
(三)与医疗事故争议当事人有其他关系，可能影响公正鉴定的。
第二十七条第一款规定，专家鉴定组依照医疗卫生管理法律、行政法规、部门规章和诊疗护理规范、常规，运用医学科学原理和专业知识，独立进行医疗事故技术鉴定，对医疗事故进行鉴别和判定，为处理医疗事故争议提供医学依据。

《医疗事故处理条例》：
第二十六条专家鉴定组成员有下列情形之一的，应当回避，当事人也可以以口头或者书面的方式申请其回避：
(一)是医疗事故争议当事人或者当事人的近亲属的；
(二)与医疗事故争议有利害关系的；
(三)与医疗事故争议当事人有其他关系，可能影响公正鉴定的。
第二十七条第一款专家鉴定组依照医疗卫生管理法律、行政法规、部门规章和诊疗护理规范、常规，运用医学科学原理和专业知识，独立进行医疗事故技术鉴定，对医疗事故进行鉴别和判定，为处理医疗事故争议提供医学依据。