若遭遇医疗事故责任纠纷问题，可通过如下方式进行妥善处理:
首先，可以考虑委派医疗机构内专责管理医疗服务质量监督的部门或相关专职工作人员予以处理。
其次，若是必须请求市卫生局介入协调予以解答和解决的情况下，那么应当由医院各相关职能科室负责人填写医疗纠纷协调处理委托书，经医院院长或分管院长审核无误并签署确认之后，方可正式授权市卫生局对此类事务进行处理，具体到实际执行过程中，将由市卫生局医政科负责全面把控。

《民法典》第一千二百一十八条
患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。