倘若在街道出租车服务过程中，乘客未能及时支付车费并且拒绝进行偿还，按照《中华人民共和国民法典》第一百一十八条的明确规定，这种情况便被视为设立了一种特定的债权债务关系。
身为债权人的出租车公司在此情形下享有请求支付车费的权利；
作为债务方的乘客，则需履行支付相应费用的义务。
在《中华人民共和国民法典》第五百七十七条以及第五百七十九条所规范的范畴内，倘若乘客仍旧未能按时支付车费，出租车公司有权要求其继续履行支付义务，或者要求其对因未支付车费而导致的损失进行赔偿。
在实践操作层面，出租车公司首先应尝试与乘客进行友好协商以寻求妥善解决方案；
若协商无果，出租车公司可依法向当地人民法院提起诉讼，请求乘客支付车费以及可能产生的其他相关损失。
若乘客的行为已构成违约，出租车公司还可依据合同条款向其追索违约责任。
总而言之，依据现行法律法规，出租车公司完全有权力要求乘客偿还车费，同时也可以通过法律途径追究乘客的违约责任。

《中华人民共和国民法典》第一百一十八条
民事主体依法享有债权。
债权是因合同、侵权行为、无因管理、不当得利以及法律的其他规定，权利人请求特定义务人为或者不为一定行为的权利。