关于离婚时孩子的法律处理，主要围绕抚养权和抚养费这两个关键问题展开，具体情况如下：
一、抚养权归属
1.哺乳期内子女抚养权：
在哺乳期内的子女，原则上是跟随哺乳的母亲进行抚养。
这主要是考虑到哺乳期内的婴儿对母亲的生理和情感依赖较强，母亲的照料更有利于婴儿的健康成长。
比如，母亲的乳汁能为婴儿提供最天然、最适宜的营养，母亲的陪伴也能让婴儿获得足够的安全感。
2.哺乳期后子女抚养权：
当哺乳期结束后，如果父母双方因抚养问题产生争执且无法达成一致协议，此时法院会依据子女的权益以及双方的具体情况来做出判决。
法院会综合多方面因素考量。
例如孩子的年龄，年幼的孩子可能更需要稳定和熟悉的生活环境；双方的经济状况，经济条件较好的一方可能为孩子提供更好的物质生活；生活环境是否有利于孩子成长，像周边教育资源、居住环境等；孩子的意愿也是重要参考，尤其是年龄稍大一些的孩子。
二、抚养费支付
1.支付责任：
一方抚养孩子时，另一方需要承担必要的生活费和教育费的一部分或全部，以保障孩子的正常生活和学习需求。
2.数额确定：
抚养费的数额会根据子女的实际需要、父母双方的负担能力以及当地的实际生活水平来确定。
若有固定收入，一般按其月总收入的20%至30%的比例给付，确保孩子的生活有一定的经济支持。
3.给付期限：
抚养费的给付期限通常至子女十八周岁为止，因为十八周岁后，子女在法律上已成年，具备一定的独立生活能力。

案情回顾:

小朱和小李婚后育有一子。孩子哺乳期内，小朱欲争取抚养权，小李则认为自己也能照顾好孩子，双方产生争议。哺乳期后，双方仍就抚养权争执不下，且对抚养费的支付数额、给付期限也存在分歧。

案情分析:

1、关于哺乳期内抚养权，原则上应归哺乳的母亲小朱，因婴儿对母亲生理和情感依赖强，母亲照料利于其成长。
2、哺乳期后抚养权，法院会综合孩子年龄、双方经济状况、生活环境及孩子意愿等因素判决。
3、抚养费支付方面，不直接抚养方需承担部分或全部费用，数额根据子女实际需要、父母负担能力和当地生活水平确定。
4、给付期限一般至子女十八周岁为止。