双方自愿变更抚养权的办理时间会因办理方式的不同而存在差异，下面为您详细介绍：
1.协议变更：
这种方式是建立在双方经过充分沟通、协商一致的基础上达成变更抚养权的协议。
具体操作时，双方需要签订一份详细的变更抚养权书面协议。
在协议中，要清晰明确地约定诸如抚养权的归属变更、探视权的具体安排、抚养费的支付方式及金额等相关重要事宜。
一旦这份协议签订完成，便立即生效。
后续，如果涉及到孩子户口迁移等问题，双方需携带相关材料前往户籍管理部门办理手续。
户籍管理部门在确认材料齐全、符合规定后，会较快地完成相关手续的办理。
通常情况下，从签订协议到完成户口迁移等手续，整个过程在数天到几周内就能够顺利完成。
2.法院确认：
有些情况下，虽然双方是自愿变更抚养权的，但为了获得司法文书的保障，会选择通过法院进行确认。
此时，双方需要向法院提交变更抚养权的申请以及相关的证明材料，比如双方的身份信息、孩子的基本情况、双方自愿变更的书面说明等。
法院在收到申请后，会对提交的材料进行仔细审查。
如果材料齐全、事实清楚，且符合相关法律规定，适用简易程序的，一般会在三个月内审结；若适用普通程序，则一般在六个月内审结。
不过在实际操作中，若法院受理后案件进展顺利，没有出现复杂的情况或争议，可能会较快地作出确认裁定。

案情回顾:

小朱和小李原就孩子抚养权有约定，后双方自愿变更抚养权。小朱主张签协议变更即可，签完马上生效，后续办户口迁移；小李则认为应通过法院确认，这样有司法保障。双方为此产生争议。

案情分析:

1、协议变更方面，双方若沟通协商一致签订详细书面协议，明确抚养权归属、探视权及抚养费等事宜，协议签订即生效。涉及户口迁移，材料齐全时户籍管理部门会较快办理，数天到几周可完成。
2、法院确认方面，若为获司法文书保障选择此方式，需向法院提交申请及材料。法院审查，简易程序三个月审结，普通程序六个月审结，无复杂情况可能较快裁定。