如果遇到拖欠抚养费但法院不予支持的情况，可从以下几方面进行分析和解决：
一、审查判决原因
法院判决不支持可能有多种原因。
一方面，证据不足是常见因素。
另一方面，程序问题也可能导致判决结果不利。
二、补充完善证据
当确定是证据问题导致不被支持时，就需要进一步收集和补充相关证据。
同时，收集对方收入情况证明，如工资单、银行流水等，以确定对方有支付抚养费的能力。
此外，曾索要抚养费的沟通记录，如短信、聊天记录等，也能作为有力证据。
三、提起上诉或再审
若认为法院判决存在错误，在上诉期内可依法提起上诉，请求上级法院重新审理案件，全面审查证据和法律适用情况。
若上诉期已过，而又符合法定再审事由，
四、协商解决
还可尝试与对方再次协商，心平气和地沟通，看能否就抚养费支付问题达成新的一致意见，以妥善解决问题。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李拖欠孩子抚养费，小朱起诉后法院却不予支持。争议点在于小朱未能提供充足证据证明拖欠事实及金额，且可能存在程序问题。

案情分析:

1、法院不支持可能是证据不足，如小朱仅口头陈述小李未支付抚养费，无书面记录等辅助证明，难以让法院认定拖欠事实。
2、程序问题也会影响判决，若小朱在诉讼中未按流程提交证据、错过举证期限，法院可能据此做出不利判决。
3、若因证据问题导致不被支持，小朱可补充孩子生活开销凭证、小李收入证明及索要抚养费沟通记录等证据。
4、若认为判决错误，上诉期内可上诉，过了上诉期且符合再审事由可申请再审，也可尝试与小李协商解决。