当出现一方拒不履行支付抚养费义务的情况时，可通过以下几种方式来妥善解决：
1.协商解决：
这是较为温和且优先考虑的方式。
抚养孩子的一方可以主动与对方进行深入沟通，选择一个合适的时间和地点，心平气和地向对方说明孩子成长过程中的各项实际需求，如教育、医疗、生活等方面的开支，让对方清楚了解抚养费对于孩子健康成长的重要性。
同时，明确告知对方其依法应承担的抚养责任，促使对方自觉履行支付义务，通过友好协商达成双方都能接受的支付方案。
2.申请司法调解：
若协商无果，可向法院申请调解。
法院会安排专业的调解员介入，调解员会充分听取双方的意见和诉求，从法律和情理的角度出发，对双方进行耐心细致的劝解和引导，努力促使双方就抚养费的金额、支付方式、支付周期等具体问题达成和解协议，以和平方式解决纠纷。
3.申请强制执行：
如果协商和调解都不能解决问题，抚养孩子的一方可向法院提起诉讼。
法院会依据相关法律和事实进行公正判决。
若判决后对方依旧拒不履行，抚养方可以向法院申请强制执行。
法院有权采取多种有力的强制执行措施，比如查询对方的银行存款信息、冻结其账户资金、直接划拨存款到指定账户，还可以查封、扣押对方的房产、车辆等财产，并进行公开拍卖，以保障抚养孩子一方和孩子的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李拒不履行支付孩子抚养费的义务。小朱先尝试与小李协商，说明孩子各项需求及抚养费重要性，但小李拒绝协商。之后小朱申请司法调解，调解员劝解引导，仍未达成和解。小朱起诉，法院判决后小李仍不支付。

案情分析:

1、小朱与小李协商时，小李拒绝，说明其缺乏对抚养责任的正确认识，未意识到抚养费对孩子成长的重要性。
2、司法调解未成功，表明小李可能存在故意逃避责任的心态。
3、法院判决后小李仍不支付，小朱申请强制执行是合理合法的，法院可采取多种措施强制小李履行义务，保障孩子和小朱的权益。