如果拥有孩子抚养权的一方却不承担孩子的生活费，可参考以下具体方法来妥善处理：
一、协商解决
当遇到这种情况时，首先应尝试以平和、理性的方式与对方进行协商沟通。
毕竟，双方都对孩子负有责任，保障孩子的生活是至关重要的。
在协商过程中，要清晰、明确地向对方阐述抚养孩子所需的各项经济支出，比如孩子的日常生活开销，包括饮食、衣物、学习用品等，让对方清楚了解孩子成长的实际经济需求。
然后，共同探讨并确定一个双方都能接受的生活费支付方式，例如是按月支付还是按季度支付，以及具体的支付金额，这个金额应综合考虑当地的生活水平和孩子的实际花费。
二、申请强制执行
若双方此前是通过法院的判决或者调解，明确了抚养权以及抚养费支付等相关问题，而对方仍然不支付生活费，那么抚养孩子的一方可以向法院申请强制执行。
法院在接到申请后，会依法采取一系列有力措施，比如查询对方的银行账户、冻结其名下的资产、直接扣划相应财产等，以此来确保孩子的生活费用能够得到保障。
三、提起诉讼
双方并没有经过法院的相关程序来确定抚养权及抚养费等事宜，那么抚养孩子的一方可以向法院提起诉讼。
在诉讼过程中，法院会全面、综合地考虑孩子的实际生活需要，例如孩子是否有特殊的教育需求、医疗需求等，同时也会考量双方的经济状况，包括收入水平、财产状况等，最终确定一个合理、公平的生活费数额。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小朱拥有孩子抚养权却不承担孩子生活费。小李先尝试与小朱协商，阐述孩子生活开销需求，但小朱认为费用过高不愿支付。小李申请强制执行，可双方此前未经过法院程序确定抚养费，此做法行不通。于是小李提起诉讼。

案情分析:

1、协商环节，小朱与小李应基于孩子实际需求理性沟通，确定合理支付方式与金额，小朱拒绝协商合理金额的做法不利于孩子成长。
2、申请强制执行需有法院此前的判决或调解，本案不满足条件，此方式不可行。
3、提起诉讼是合理途径，法院会综合孩子需求及双方经济状况确定生活费数额。