抚养权协议书在一定条件下是可以私下进行变更的，具体情况如下：
一、双方协商一致的情况
父母双方若能就变更抚养权这一事项达成一致意见，是可以进行私下变更的。
不过，这一变更需要满足有利于子女身心健康以及保障其合法权益的前提条件。
在实际操作中，双方应当签订新的抚养权变更协议。
这份协议需要详细且明确地约定变更后的抚养安排，在这种情况下，不直接抚养子女的一方可以向法院起诉，要求变更抚养权，由法院根据具体情况进行裁决。
为避免后续可能产生的纠纷，在私下变更抚养权后，最好通过公证等方式对变更协议进行强化，或者向法院申请确认变更协议的效力。
通过这些方式，能够更好地保障变更的合法性和有效性，让变更后的抚养安排得以顺利实施。

案情回顾:

小朱和小李原签订了抚养权协议，约定孩子由小朱抚养。后小李认为小朱工作繁忙不利于孩子成长，提出变更抚养权，小朱起初不同意，双方产生争议。后小朱因患严重疾病失去劳动能力，小李再次要求变更抚养权，小朱勉强同意但对探视权安排存异议。

案情分析:

1、双方起初未协商一致，后出现小朱患病失去劳动能力这一法定情形，符合变更抚养权条件，可进行变更。
2、双方虽最终同意变更，但对于探视权未明确约定，应签订新协议详细约定探视时间、频率、方式等，还可通过公证或申请法院确认效力，保障变更合法性和有效性。