当申请变更抚养权但对方不同意时，可通过以下途径来解决：
一、协商沟通
再次与对方进行协商是很有必要的。
在协商过程中，要保持心平气和的态度。
向对方详细阐明变更抚养权的合理原因。
比如，如果对方存在不利于孩子成长的情形，像长期虐待孩子，使孩子的身心受到伤害；或者有遗弃孩子的行为，对孩子的生活不管不顾；又或者患有严重疾病，无法正常照顾孩子的生活起居和学习等。
通过清晰、客观地陈述这些情况，让对方了解变更抚养权对孩子的重要性，争取对方的理解，从而达成一致意见。
二、提起诉讼
若经过多次协商都无法达成一致，那么就可以向法院提起变更抚养权的诉讼。
法院在判决时，会始终把有利于子女身心健康、保障子女合法权益放在首位。
同时，会综合考虑父母双方的抚养能力和抚养条件等具体情况。
在诉讼过程中，需要提供充分的证据来证明存在法定变更事由。
例如，对方在抚养孩子期间，经常不履行抚养义务，对孩子的生活、教育等方面不闻不问。
而自己有更稳定的生活环境，比如有固定的住所，能为孩子提供良好的学习和生活空间；经济条件也更为优越，能够满足孩子成长过程中的各种需求等。
总之，要通过合法合理的方式来争取抚养权的变更。

案情回顾:

小朱欲变更与小李所生孩子的抚养权，但小李不同意。小朱称小李长期患病无法照顾孩子，要求协商变更，小李却认为自己能照顾好孩子，双方协商无果。小朱遂向法院提起诉讼，主张变更抚养权。

案情分析:

1、协商阶段，小朱指出小李患病不利于孩子成长，而小李认为自己能照顾孩子，双方各执一词。但小朱所提小李患病若属实且影响照顾孩子，从利于孩子成长角度看，小朱诉求有一定合理性。
2、诉讼阶段，法院会综合考量。若小朱能提供小李患病无法正常照顾孩子的证据，且自身有稳定生活环境和经济条件，更利于孩子成长，法院可能会支持小朱变更抚养权的诉求。