当一方不履行支付孩子抚养费的义务时，可通过以下几种途径妥善解决：
一、协商解决
这是解决问题的首要尝试途径。
可以找一个合适的时机和地点，与对方心平气和地沟通。
明确向对方阐述支付抚养费是其应尽的法定义务，毕竟孩子的成长需要稳定的经济支持。
详细说明孩子在生活、学习等方面的实际开销，让对方清楚了解抚养费的重要性。
同时，要求对方尽快支付此前拖欠的抚养费，并一起商讨后续支付的具体方式，
二、申请司法调解
若直接协商效果不佳，可以向当地的人民调解委员会等专业调解机构申请调解。
这些机构有经验丰富的专业人员，他们会秉持公正、客观的态度，协助双方进行深入沟通。
调解人员会根据具体情况，分析利弊，引导双方换位思考，促使对方认识到履行支付抚养费义务的必要性，从而积极履行义务。
三、提起诉讼
要是协商和调解都没有取得理想结果，那么向法院提起诉讼是最后的有力保障。
通过法律程序，要求对方支付拖欠的抚养费。
法院在审理后会依法作出公正判决。
若对方在判决后依然拒不履行，可申请法院强制执行。
法院有权采取多种强制执行措施，如查询对方的银行账户、冻结其资金、划拨相应财产等，切实保障抚养费能够顺利支付。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，小李长期不履行支付孩子抚养费的义务。小朱先尝试与小李协商，阐述抚养费重要性及孩子开销，商讨支付方式，但小李拒绝。后小朱申请司法调解，调解也未成功。最终小朱提起诉讼，争议点在于小李是否应支付拖欠抚养费及后续支付问题。

案情分析:

1、协商阶段，小李拒绝支付抚养费，违背了其法定抚养义务，孩子的成长需要经济支持，其应承担相应责任。
2、司法调解未成功，说明小李没有认识到自身义务，调解机构虽尽力但无法改变其态度。
3、小朱提起诉讼是合理合法的维权途径，法院应依法判决小李支付拖欠抚养费，若小李仍不履行，法院强制执行可保障小朱和孩子的合法权益。