当未成年人的监护人突然失踪后，其监护权一般会归属到未成年人的父母的其他近亲属身上，像祖父母、外祖父母以及成年的兄姐等这些人。
要是不存在上述的近亲属，或者这些近亲属不具备监护能力的话，那么就由未成年人所居住地方的居民委员会、村民委员会或者民政部门来担任监护人。
法律明确规定，监护人有责任履行监护的职责，要全力保护被监护人的人身安全、财产安全以及其他合法的权益。
一旦监护人失踪，被监护人就很可能会陷入无人照料的困境之中。
在这种情况下，其他拥有监护资格的人就必须要迅速地承担起监护的责任，只有这样才能确保未成年人的合法权益不受损害。
要是在监护过程中发生了争议，那么可以向人民法院提出申请，请求法院指定合适的监护人。
这样就能在法律的保障下，让未成年人的生活和成长得到妥善的安排，避免因为监护问题而给他们的身心发展带来不良影响。

案情回顾:

小朱是未成年人，其监护人突然失踪。小朱的祖父母认为应由他们担任监护人，而小朱成年的姐姐小李则觉得自己更适合监护小朱，双方就监护权归属产生争议，小朱面临无人妥善照料的困境。

案情分析:

1、按照法律规定，在小朱监护人失踪后，其祖父母和成年姐姐小李均属于有监护资格的近亲属。
2、当出现监护权争议时，双方可向人民法院申请指定合适的监护人，由法院依据具体情况，从保护小朱人身安全、财产安全及其他合法权益角度出发，确定最终的监护人。