当离婚双方都放弃孩子的抚养权时，具体可按以下方式妥善处理：
一、法院判决
法院在这种情况下会遵循“最有利于未成年子女”的原则来作出判决。
这一原则是基于保障孩子健康成长的考量。
在实际判决时，法院会全面且细致地综合考虑父母双方多方面的因素。
其中，抚养能力至关重要，包括经济收入水平、是否有稳定的工作等，毕竟孩子的生活和成长需要一定的物质基础。
抚养条件也是关键因素，例如居住环境是否稳定、安全，周边是否有良好的教育、医疗资源等。
而且，是否有足够的时间和精力照顾孩子也在考虑范围内。
例如，一方经济条件较好、居住环境稳定且有充足的闲暇时间照顾孩子，法院通常会倾向于将孩子判归该方抚养。
二、指定监护
倘若双方确实都不适合抚养孩子，常见的如孩子的祖父母、外祖父母等近亲属，他们与孩子有一定的亲情基础，更有可能给予孩子关爱和照顾。
三、保护儿童权益
无论最终的处理结果如何，保障孩子的合法权益始终是重中之重。
法院会全力确保孩子在生活、教育、医疗等各方面的基本需求都能得到满足。
同时，不直接抚养孩子的一方需要依法承担相应的抚养费，为孩子的成长提供必要的经济支持。

案情回顾:

小朱和小李离婚时，双方均放弃孩子抚养权。小朱经济条件稍好但工作繁忙，小李居住环境一般但时间充裕，双方对孩子抚养权归属存在争议，法院需做出裁决。

案情分析:

1、法院会遵循“最有利于未成年子女”原则判决。小朱虽经济条件好，但工作忙可能无暇照顾孩子；小李虽时间多，但居住环境欠佳。法院需综合权衡，将孩子判归更有利于其成长的一方。
2、若双方均不适合抚养，法院可能指定孩子的祖父母、外祖父母等近亲属担任监护人，保障孩子得到关爱照顾。
3、不管最终结果如何，孩子权益要保障，不直接抚养方需承担抚养费。