在非婚生子母亲去世这种特殊情况下，有几个重要方面值得我们关注：
一、监护权问题
非婚生子女和婚生子女在法律上享有同等的权利。
当母亲不幸去世后，孩子的生父作为孩子的父亲，理应承担起抚养以及监护孩子的责任。
这不仅是法律的规定，更是基于亲情和道德的要求。
因为父亲与孩子有着直接的血缘关系，有义务为孩子的成长提供稳定的生活环境和关爱。
然而，在现实生活中，可能会出现父亲由于各种原因，这时，其他有监护能力的近亲属，像祖父母、外祖父母等，就可以向法院提出申请，请求担任孩子的监护人，以保障孩子的合法权益。
二、财产继承问题
非婚生子女同样有权继承母亲的遗产。
如果母亲在生前留有遗嘱，那么就应当按照遗嘱的内容来进行继承。
遗嘱体现了母亲对自己财产的处分意愿，应当得到尊重和执行。
若母亲没有留下遗嘱，那么就需要按照法定继承的方式来办理。
在法定继承中，非婚生子女作为第一顺序继承人，和其他子女等享有平等的继承权，他们可以依法获得母亲遗产中应得的份额。
三、生活保障问题
要是父亲或者其他监护人由于客观原因无力抚养孩子，当地的民政部门等相关机构可能会根据实际情况，为孩子提供必要的生活保障和救助。

案情回顾:

小朱与小李非婚生育一子。后小李不幸去世。小朱经济困难无力抚养，孩子祖父母小胡和小丽认为小朱不适合监护，申请担任监护人，双方产生争议。且小李去世时未留遗嘱，非婚生子财产继承份额问题也存在分歧，同时小朱无法抚养时孩子生活保障问题也引发讨论。

案情分析:

1、监护权方面，小朱作为生父本应承担监护责任，但因经济困难无力抚养，小胡和小丽作为有监护能力的近亲属，有权申请监护，法院会综合考量各方情况确定监护人。
2、财产继承上，小李未留遗嘱，非婚生子作为第一顺序继承人，与其他子女享有平等继承权，应依法获得相应遗产份额。
3、生活保障方面，若小朱无力抚养，民政部门等应根据实际情况，为孩子提供必要保障和救助。