首先，务必清晰知晓双方孩子的年龄情况。
倘若双方皆为尚未成年之人，依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，那些具备限制民事行为能力的孩子倘若给他人造成了损害，那么其监护人就必须承担起侵权责任。
先动手的孩子若是处于限制民事行为能力的范畴，其监护人自然要承担相应的侵权责任。
然而，倘若受伤的孩子自身也存在过错，像故意去挑衅对方等行为，此时就可以依照双方过错的程度来适当减轻监护人的责任。
要是双方都属于没有民事行为能力的人，就如同幼儿园里的小朋友等情况，那么就由各自的监护人承担侵权责任。
法院在进行判定时，会充分考虑双方的具体状况，比如年龄大小、认知能力的高低等诸多因素，以此来综合地判断责任的承担方式。
在处理这类事情时，双方可以通过友好协商的方式来解决赔偿事宜。
倘若协商无法达成一致，那么受伤孩子的监护人就可以向法院提起诉讼，要求对方的监护人赔偿包括医疗费用等在内的相关损失。
这样能够在法律的框架下，较为合理地解决双方之间的纠纷，保障各方的合法权益。

案情回顾:

小朱（8岁）与小李（7岁）在幼儿园玩耍时，小朱先动手打了小李，致小李受伤。小李监护人要求小朱监护人承担全部医疗费用，小朱监护人认为小李自身存在挑衅行为，不应自己全担责任，双方产生争议。

案情分析:

1、小朱和小李均为无民事行为能力人，按照法律规定，应由各自监护人承担侵权责任。
2、若小李确实存在挑衅等过错行为，法院在判定时会考虑双方年龄、认知能力等因素，适当减轻小朱监护人的责任。
3、若双方协商不成，小李监护人可向法院起诉，要求小朱监护人赔偿医疗费用等相关损失。