根据《民事诉讼法》的相关规定，当当事人对于抚养费的判决存在不满情绪或者认为判决结果不合理时，他们享有一项重要的权利，那就是在判决书正式送达给自己之日起的十五日内，有权利向上一级人民法院提起上诉。
提起上诉这一行为，需要当事人认真准备并提交上诉状。
上诉状中应当清晰地写明上诉请求，也就是当事人希望上级法院对原判决进行何种调整或改变，同时还要详细阐述上诉的理由，比如为何认为原抚养费判决不合理，是基于哪些具体情况或者事实等。
在整个上诉过程中，当事人必须要特别注意上诉期限的规定。
一旦超过了规定的上诉期限而未进行上诉，那么原判决就会正式生效，当事人将无法再对该判决提出异议。
需要明确的是，上诉并不一定会导致原判决被撤销或者改变。
上级法院会对当事人的上诉请求进行严格的审查，会依据实际的事实情况以及相关的法律规定来作出最终的裁判。
如果当事人的上诉理由充分，并且能够提供新的、有力的证据来支持自己的主张，那么上级法院就有可能作出改判或者发回重审的决定，这样做的目的是为了确保抚养费的判决能够更加符合实际情况，更好地维护当事人的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，法院判决小李每月支付一定数额的抚养费。小朱认为判决的抚养费过低不合理，在判决书送达后的第10日，小朱向上一级法院提起上诉，他在上诉状写明希望增加抚养费的请求，并详细阐述自己的经济压力和孩子成长所需费用增加的事实。而小李觉得判决合理，不应被更改。

案情分析:

1、小朱在判决书送达15日的上诉期内提起上诉，符合《民事诉讼法》规定的上诉程序。
2、小朱明确了上诉请求并阐述理由，提供相关事实依据，若确实合理且证据有力，上级法院可能改判或发回重审，当然，也可能维持原判，要依据事实和法律规定判定。