可参考以下处理方式：
一、协商调解
当遇到这种情况时，首先可以尝试在家庭内部进行协商。
家庭成员们可以心平气和地坐下来，坦诚地沟通，向养子说明抚养义务的重要性以及不尽义务可能带来的后果。
如果家庭内部协商无法解决问题，还可以寻求第三方调解机构的帮助。
比如，有些社区设有专门的调解委员会，他们会根据具体情况，对养子进行劝说和引导，促使其认识到自己的错误并切实履行抚养义务。
若养子愿意改正，那么可以维持家庭关系以及其相应的继承权。
二、遗嘱调整
被继承人拥有通过订立遗嘱来调整遗产分配方案的权利。
被继承人可以根据养子日常的行为表现，来决定是否对其继承份额进行调整。
如果养子长期不尽抚养义务，被继承人可以考虑减少其继承份额，甚至在极端情况下，取消其继承权。
这样可以在一定程度上保障自身权益和家庭的公平。
三、法律诉讼
协商调解都无法解决问题，被继承人或者其他利害关系人就可以向法院提起诉讼。
法院会依据具体情况，依法判定养子是否丧失继承权或者对其继承份额进行调整。
按照相关法律规定，有抚养能力和抚养条件的继承人，若不尽抚养义务，在分配遗产时，应当不分或者少分。

案情回顾:

小朱收养了小李，小李有继承权却不尽抚养义务。小朱先尝试家庭内部协商，不成后寻求社区调解委员会调解，小李仍未改正。小朱考虑立遗嘱调整小李继承份额，双方争议在于小李是否应保有原有继承份额。最终小朱提起诉讼。

案情分析:

1、在协商调解阶段，家庭内部沟通及第三方调解旨在让小李认识错误履行义务，若其愿意改正可维持其继承权，这体现了家庭关系修复的尝试。
2、遗嘱调整方面，小朱有权根据小李行为减少其份额或取消继承权，以保障自身权益和家庭公平。
3、法律诉讼时，法院会依据法律判定，小李有抚养能力和条件却不尽义务，可能面临不分或少分遗产的结果。