当法院判决不支持未婚生子继承遗产时，可从以下几个方面来应对：
一、审查判决依据
仔细研读判决书是关键的第一步。
法院的判决必然有其依据，要明确具体是哪些因素导致不支持未婚生子的继承诉求。
例如，是否因为缺乏能够证明亲子关系的关键证据，像出生证明、亲子关系鉴定报告等。
有些情况下，可能是证据的形式不符合法律要求，或者证据的证明力不足。
通过仔细审查，能清楚了解判决背后的逻辑，为后续行动找准方向。
二、补充证据上诉
若认为判决存在错误，并且有新的证据可以证明亲子关系或者支持继承主张，那么在上诉期内要果断向上一级人民法院提起上诉。
上诉时，要清晰阐述新证据的内容和意义，说明其对案件的影响。
三、申请再审
若上诉期已经错过，但有足以推翻原判决的新证据，再审是对原判决的再次审查，要充分准备好相关材料和理由。
四、寻求法律帮助
咨询专业律师是维护未婚生子合法继承权益的重要途径。
律师能够凭借其专业知识和丰富经验，深入分析案件具体情况，制定出更合适、更有效的应对策略。

案情回顾:

小朱未婚生子小李，法院判决不支持小李继承遗产。争议点在于小李缺乏证明亲子关系的关键证据。小朱认为判决有误，积极寻找新证据准备应对。

案情分析:

1、审查判决依据方面，可能是因缺少出生证明、亲子关系鉴定报告等关键证据，或证据形式、证明力不符合要求，导致判决不支持。小朱应仔细研读判决书明确原因。
2、补充证据上诉时，若小朱在上诉期内获取如亲子关系鉴定报告等新证据，应及时上诉，清晰说明新证据对案件的影响。
3、错过上诉期，若有新证人证言、书证等足以推翻原判决的证据或原判决存在法律适用错误，可申请再审。
4、小朱可寻求律师帮助，律师能制定合适策略维护小李合法继承权益。