随母亲改嫁的孩子，其继承父亲遗产的权利是依然存在的，下面来具体分析：
一、法定继承权方面
依据我国《民法典》的相关规定，子女属于父母遗产的第一顺序法定继承人。
这里所说的子女，涵盖了多种情况，包括婚生子女，也就是在婚姻关系存续期间所生育的子女；非婚生子女，即父母双方没有合法婚姻关系所生育的子女；养子女，是通过合法收养程序而形成的父母子女关系；还有有扶养关系的继子女。
而对于随母亲改嫁的孩子而言，其与亲生父亲之间存在着天然的血缘关系，这种血缘关系是无法因母亲改嫁这一行为而发生改变的。
所以，从法定继承的角度来讲，该孩子的法定继承权是始终存在的。
例如，即使母亲改嫁后，孩子多年未与父亲共同生活，但在父亲去世时，孩子依然有权依法继承父亲的遗产。
二、特殊情况说明
在某些特殊情况下，继承情况可能会有所不同。
那么在这种情况下，孩子就可能无法按照遗嘱的内容来继承父亲的遗产。
不过，若出现遗嘱无效或者部分无效等符合法定情形时，孩子仍然可以主张自己的法定继承权利。

案情回顾:

小朱的母亲改嫁后，小朱多年未与父亲共同生活。父亲去世后，小朱主张继承父亲遗产，而父亲其他亲属认为小朱随母改嫁，不应继承遗产，双方产生争议。

案情分析:

1、从法定继承权方面看，依据《民法典》，子女是父母遗产第一顺序法定继承人。小朱与父亲有天然血缘关系，母亲改嫁不改变这一关系，所以小朱法定继承权始终存在，有权依法继承父亲遗产。
2、特殊情况方面，若父亲生前遗嘱明确排除小朱继承份额，小朱可能无法按遗嘱继承。但遗嘱若无效或部分无效，如不符合法定形式或违反强制性规定，小朱可主张法定继承权利。