在对遗嘱签名的真实性存疑时，举证责任的分配是有明确规则的，以下为您详细介绍：
一、一般原则
在民事诉讼中，遵循“谁主张，谁举证”这一基本原则。
当一方怀疑遗嘱签名是假的时，该怀疑方需要承担初步的举证责任。
这意味着怀疑方要主动寻找并提供一些能够证明其观点的证据线索。
例如，仔细对比签名的字迹与被继承人在其他正常书写情况下的字迹，若发现两者在笔画形态、书写习惯等方面存在明显差异，就可以作为初步证据提供给法庭。
通过这样的证据，让法庭对遗嘱签名的真实性产生初步的怀疑。
二、鉴定程序
当怀疑方提供的初步证据足以使法官对遗嘱签名的真实性产生合理怀疑时，笔迹鉴定程序便有可能启动。
在这个程序中，鉴定费用一般由申请鉴定的一方先行垫付。
这是因为在鉴定结果出来之前，无法确定最终应由哪一方承担费用，所以先由申请方垫付是较为合理的安排。
三、最终责任承担
鉴定结果出来后，费用的承担会根据结果而定。
如果鉴定结果表明签名是假的，那么鉴定费用通常由遗嘱的提出方或持有方承担，因为他们所提供的遗嘱存在签名虚假的问题。
相反，若鉴定结果表明签名是真实的，鉴定费用则由怀疑方承担，毕竟是怀疑方提出了质疑并启动了鉴定程序。

案情回顾:

小朱去世后，其遗嘱出现，小李怀疑遗嘱签名为假。小李对比小朱以往字迹，发现笔画形态等有差异，以此作为初步证据提交法庭。之后启动笔迹鉴定程序，小李先行垫付费用。鉴定结果表明签名为真。双方就鉴定费用承担产生争议。

案情分析:

1、根据“谁主张，谁举证”原则，小李怀疑签名为假，需承担初步举证责任，其通过对比字迹差异提供了初步证据，使法庭对签名真实性产生怀疑，这一做法符合规则。
2、鉴定费用先行由申请方小李垫付合理，最终因鉴定结果表明签名真实，所以费用应由怀疑方小李承担，遗嘱提出方或持有方无需承担。