当犯罪嫌疑人的家属发现他们的账户遭受冻结，首先需要精确理解造成这一结果的根本原由以及相关依据。
通常情况下，家属的账户被冻结是由于执法机构认定账户内的资金和犯罪事件之间存有必然联系。
针对这种情况，作为当事人的家属，应当立即向做出冻结决策的机构进行详细咨询，并请求对方详细阐述冻结的法律依据及其理由。
倘若家属对冻结的决定持有异议或者认为其缺乏合理性，则有权向该机构提出异议及申诉，请求解除冻结措施。
在此期间，家属还应该全力配合相关机构的调查工作，提供必要的证据材料，以证明账户资金的合法来源以及实际用途。
在申诉的过程中，我们强烈建议您寻求律师的帮助，通过法律途径来保护自己的合法权益。
然而，值得注意的是，如果经过深入调查后证实账户资金确实与犯罪活动有关联，那么冻结措施很可能会继续执行，甚至可能面临被追回的风险。