依照我国《中华人民共和国刑法》第二百七十四条之明确规定，针对连续发生的敲诈勒索案件，若涉及金额攀升至“数额较大”即该条文所界定的量刑起点，抑或是“数额巨大”的级别，亦或是出现“多次敲诈勒索”的现象，均应依据此条款进行相应的刑事审判。
在具体裁决过程中，法官将充分考量犯罪行为的具体情节，如犯罪次数、涉案金额的多寡、是否存在自首、立功等法定从轻减轻情节，以及对社会公共利益造成的损害程度等等。
若涉案金额相对较少，尚未达到“数额较大”的标准，那么其可能无法被认定为犯罪行为，然而，这需要结合案件的实际情况与相关法律法规进行综合分析。
倘若涉案金额确实已经触及到“数额较大”或“数额巨大”的门槛，并且满足“多次敲诈勒索”的条件，那么被告人可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚，同时可能被处以罚金；
若金额更加庞大或情节更加恶劣，罪犯则可能面临更为严厉的刑罚。
因此，对于这类连续发生的敲诈勒索案件，法院将依据真实的犯罪事实和确凿的证据，判定是否构成犯罪以及如何给予适当的刑罚。

《中华人民共和国刑法》第二百七十四条
敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；
数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；
数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。