在涉及敲诈勒索的刑事案件中，若犯罪嫌疑人在实施犯罪进程中因自身原因而自动放弃或有效阻止犯罪后果的发生，依据我国《中华人民共和国刑法》中的第二十四条所述，那么此种情形将可能构成犯罪中止。
若终止行为未给社会带来任何实质性损害，依法应予以免除惩罚，反之造成损失的则应当适当减轻惩处。
但是对于具体案件的分析，我们需要更为详尽的信息，例如罪犯的详细行为，犯罪所处的阶段，是否存在终止行为以及终止行为带来的效果等等。
在这类案件的处理中，如若犯罪嫌疑人，在进行敲诈勒索的过程中，预感到其行为不当，从而自行停止了敲诈勒索的行径，又或者在敲诈勒索即将成功之际，主动提出放弃且向受害者表明不再进一步实施敲诈行为，此时可能会被视为存在犯罪中止的行为。
若因为该原因未给他人造成实际损失，根据法律条款的规定，其应该获得免于处罚的待遇；
倘若造成了实质性的伤害，也将会依法适度减轻其刑罚。
然而，针对是否构成犯罪中止的问题，尚需参照具体案情的事实与证据材料，由各级法院依序作出判定。
举例来说，倘若犯罪嫌疑人停止敲诈行为后，响应当事人已经带来了精神层面的恐慌，或者其他形式的侵害，那就可能不能认定为犯罪中止，此时我们需要根据具体情况斟酌是否存在敲诈勒索罪的既遂或者其他关联性罪名的成立。

《中华人民共和国刑法》第二十四条
在犯罪过程中，自动放弃犯罪或者自动有效地防止犯罪结果发生的，是犯罪中止。
对于中止犯，没有造成损害的，应当免除处罚；
造成损害的，应当减轻处罚。