依据我国《中华人民共和国国家赔偿法》第十六条明确的规定，若在执行刑事拘留任务期间，赔偿义务机关因失误导致无辜公民遭到错误对待而被予以释放，那么此等责任必须由过错严重或者存在重大疏忽的相关责任个人或团体负担起部分或所有应负赔偿之责。
假如涉案责任人存心故意或者犯下了严重过失，则应依照法律程序被责令接受惩戒处分；
倘若该行为触犯了刑法，则更应对其依法予以追诉并判处相应刑罚。
因此，对于相关责任单位，应当审慎评估实际情势，并针对涉事责任人作出适当的处理决定。

《中华人民共和国国家赔偿法》第十六条
赔偿义务机关赔偿损失后，应当责令有故意或者重大过失的工作人员或者受委托的组织或者个人承担部分或者全部赔偿费用。
对有故意或者重大过失的责任人员，有关机关应当依法给予处分；
构成犯罪的，应当依法追究刑事责任。