当完成伤情鉴定后，如果结果显示为轻伤及以上，这就意味着打人者已然涉嫌故意伤害罪了。
此时，你可以向公安机关进行报案，坚决要求对其追究刑事责任。
与此同时，你拥有权利提起附带民事诉讼，要求打人者对因你受伤而产生的一系列费用进行赔偿，
倘若伤情只是轻微伤，那么打人者应当受到治安管理处罚，公安机关会依据情节的轻重给予罚款、拘留等处罚措施。
你同样有权利要求打人者赔偿上述的相关费用。
在整个过程中，务必妥善保留好相关证据，像病历，它详细记录了你的受伤情况和治疗过程；医疗费票据，能明确证明你在治疗上的花费；证人证言，若是有目击证人，他们的证词可以为你的维权提供有力支持。
如果在赔偿数额等方面存在争议，你可以通过调解、仲裁或者诉讼等方式来解决，以维护自己的合法权益。

案情回顾:

小朱与小李发生冲突，小朱受伤。伤情鉴定后，若为轻伤及以上，小朱报案要求追究小李刑事责任并提附带民事诉讼索赔费用；若为轻微伤，小李受治安处罚，小朱仍可索赔。双方在赔偿数额上产生争议。

案情分析:

1、若伤情达轻伤及以上，小李涉嫌故意伤害罪，公安机关应依法处理。小朱提起附带民事诉讼索赔合理合法，相关费用应按实际损失计算。
2、若伤情为轻微伤，小李受治安处罚，小朱索赔有依据。对于赔偿数额争议，可通过调解、仲裁或诉讼解决，小朱应保留好病历、票据、证人证言等证据。