当被依法传唤之后，若未能以合法理由拒绝到案，则一般并不会立即遭到网络追逃的处理。
然而，倘若公安部门历经数次传唤后仍然无法取得当事人的配合，且案件情势严重，那么公安部门可能会采取相应的措施，其中便包括将其列入网络追逃名单之中。
至于这一过程所需的时间跨度，并无固定的标准可言，而是取决于案件的具体情况、公安部门的办案流程以及对案件的判断等多方面因素。
通常来说，若是涉及到刑事犯罪，公安部门认为犯罪嫌疑人存在明显逃避侦查、规避审判的动机，并且对传唤不予配合的话，那么其有可能在较短的期限之内被列入网络追逃名单。
但是，如果案件的情节相对轻微，或者存在其他特殊的情况，那么公安部门可能会给予一定的时间缓冲。
总而言之，在接到传唤通知时，我们应当积极配合相关调查工作，避免因此而引发更为严重的法律责任。