通常来讲，刑事案件若被实施司法拘留在37天期限届满之后，可能会涉及到以下几种处理路径。
首先若是公安部门认定其所掌握的相关犯罪证据达到确凿的地步，那么他们将会向检察院提出申请，请求批准对该案全面开展审查批捕工作。
一旦检察院批准了这一申请，涉案人员将需接受进一步的羁押，同时各项刑事诉讼环节也会随之展开。
然而，倘若检察院未能通过这个申请，公安部门则应在接收到通知信息后，尽快释放该名涉案人员，但若存在继续进行侦查，并且在符合相应条件下可实施取保候审或者监视居所这类措施的情况，则根据法律规定转换相应的强制措施。
此外，还存在一种可能性便是在37天的司法拘留期间内，公安部门已经完成了所有调查工作且发现涉案人员并不需要为这些罪行承担刑事责任，那么他们也将会把其释放，同时取消针对这个案件的立案和审理。
总的来说，最终的确切处理途径将取决于每个案件的琐细特征以及所收集到的证据充分性。